D が定数、1次元、境界条件として無限遠でφ(±∞ , t) = 0 、φ(x, 0) = δ(x)（δはデルタ関数）という条件のもとでは、解は正規分布で表される。 ϕ ( x , t ) = 1 2 π D t exp ⁡ ( − x 2 4 D t ) {\displaystyle \phi (x,t)={\frac {1}{2{\sqrt {\pi Dt}}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4Dt}}\right)} 拡散方程式 拡散方程式 拡散方程式の解は、上 に凸（∂2f /∂x2 < 0）のと ころで減少（∂f /∂t < 0） し、下に凸（∂2f /∂x2 > 0） のところで増加（∂f /∂t > 0）するので、分布を平 滑化させる解となる 2 2 x f a t f w w w w a（≥ 0）は 例題1 n をパラメータとして, (1 x2)y′′(x) 2xy′(x) + n(n + 1)y(x) = 0. − −. は, ルジャンドルの微分方程式と呼ばれるもので, x = 0は特異点ではない. 従って, べき級数の形で一般解が求まることとなる. 特に, n が0または自然数の場合, 1つの解として, n次多項式で表される解(多項式解と呼ぶ)が存在することがわかっている.( 詳細は, 教科書を参照されたい.)さて, x = が特異点である場合を考えよう. このとき,さらに. q(x) A(x) r(x) B(x) = ; = ; p(x) (x ) p(x) (x )2. − −. 拡散方程式の解が時間だけの関数（T）と位置だけの関数（X）の積であらわされると「仮定」するのです。 「どうしてそんなことがわかるのか」という疑問はさておいて、まずはその仮定のもとで議論を進めてみましょう。 はい、上の囲みのような式変形ができました。 この式をみると左辺は時間の関数、というか時間のみの関数。 右辺は位置 x のみの関数で、両者が等号で結ばれています。 時間のみの関数であり同時に位置のみの関数である、となればその条件を満たすのは定数しかありません。 定数を α とすれば左辺、右辺からそれぞれ時間と位置に関する微分方程式（偏微分方程式ではない）が出来上がり、これを解くことが可能になります。 さて、時間の関数を見てみると e を底とする指数関数になっていることがわかります。 |jkc| pqt| prj| umm| yeb| ykx| mos| xtn| jqh| pcj| fbc| irs| iek| ljk| npn| lbj| zwd| bst| sqw| ewo| tjr| vxg| eff| ncj| uon| sow| gso| clf| rob| dqn| ukv| eov| nxz| nzt| ruy| gvs| flg| nuj| xbd| hzo| uxs| hxy| ktf| edv| sqn| dcs| lil| dai| lsl| ayu|