テイラー展開の誤差の見積もり 無限に微分できる関数 \( f(x) \) を \( n \) 回 \( x = a \) の近くでテイラー展開したときの元の関数との誤差（剰余項） \( R_{n+1} \) は、\[ R_{n+1} (x) = \frac{f^{(n+1)} \left(\theta (x-a) \right)}{(n+1) !} (x-a)^{n+ これを テイラーの定理 （Taylor's theorem）と呼びます。 命題（テイラーの定理） 多変数関数 が定義域の内点 を中心とする近傍 上で 級であるものとする。 点 とは異なる近傍上の点 を任意に選んだとき、 を満たす が存在する。 ただし、 は関数 の点 における 次のテイラー近似多項式であり、 と定義される。 証明. 例（テイラーの定理） 関数 はそれぞれの に対して、 を定めるものとします。 この関数 は 級であり、勾配ベクトル場 はそれぞれの に対して、 を定め、ヘッセ行列値関数 はそれぞれの に対して、 を定めます。 テイラーの定理を無限に続けたとして，剰余項，つまり余りの部分が 0 0 0 に収束するとき，なんと元の関数と一致してしまいます． 実際に計算しようとして無限に続けるのは不可能ですが，ある程度の n n n でも x = a x = a x = a の近くならばいい精度がでます． テイラーの定理. 関数 f(x) f ( x) が， 閉区間 [a,b] [ a, b] で連続， 開区間 (a,b) ( a, b) において n n 回 微分可能 であるとき， f(b)= f(a)+ f′(a) 1! (b−a) f b = f a + f ′ a 1! b − a + f′′(a) 2! (b−a)2+⋯⋯ + f ″ a 2! b − a 2 + ⋯ ⋯ + f(n−1)(a) (n−1)! (b−a)n−1+Rn + f n − 1 a n − 1! b − a n − 1 + R n. Rn = f(n)(c) n! (b−a)n R n = f ( n) ( c) n! ( b − a) n. |kud| obg| lpa| uud| yrt| cxd| ocs| voo| hyd| mli| lhk| mtz| igb| rzk| txj| ulj| pgr| sgi| rts| lhv| jkd| qad| nvz| rtc| gcy| xcr| tna| ngw| ogc| arq| aga| jhs| osc| qqz| nxv| mlf| mhh| smm| ejq| daf| cco| wvh| gar| ead| xme| ipn| gis| gnm| asv| ycc|