この記事では、テイラーの定理と剰余項について解説します。 テイラーの定理と剰余項. テイラーの定理とは平均値定理を次のように拡張した定理である. 関数 f ( x) が [ a, b] で n 回微分可能とするとき, f ( b) = f ( a) + f ′ ( a) 1! ( b − a) + f ″ ( a) 2! ( b − a) 2 + ⋯ + f ( n − 1) ( a) ( n − 1)! ( b − a) n − 1 + R n とおくと, R n = f ( n) ( c) n! ( b − a) n ( a < c < b) を満たす c が存在する. この R n を ラグランジュの剰余項 と呼ぶ. 証明. テイラーの定理の発想 マクローリン展開の形自体は 「多項式の一般形」の一つとして導けます。 \begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)&=&a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+\cdots +a_nx^n \\ \\ \displaystyle f^{\prime}(x)&=&0+a_1+a_2 剰余項の極限は. lim Rn+1(x) xn+1 = lim e nx ( ) n n (n + 1)! !1 !1. xn+1. であり, 上でみたようにlim = 0 であるのだが, もしlimのような状況であれば, ( )は. n!1 (n + 1)! n!1. 0 型の不定形になってしまい, その極限値を求めるのに数列{e. nx}の挙動を詳しく調べなくてはならなくなっ. e nx = てしまう. テイラーの定理はロルの定理( 定理2.6.1 p.94) の応用であるので, の存在を保証してくれるだけで. n , n. の具体的な値を教えてくれる訳ではない. 数列{e. nx} の挙動なんてそう簡単に分かるものではないのである.指数関数ではこれが簡単に解決する. $R_ {n} (x)$ は 関数 $f (x)$ と $n-1$ 次近似式との差分を表しており、 剰余項 と呼ばれる。 以下に証明を記す。 証明を見る. 続いてテイラーの級数の定義とテイラー展開との関連性について述べる。 テイラー級数. $x=c$ において無限回微分可能な関数 $f (x)$ によって定義される次の級数 を テイラー級数 という。 テイラー展開. $x=c$ において 無限回微分可能な関数 $f (x)$ がテイラー級数に等しいとき、 すなわち、 が成り立つとき、 $f (x)$ は $x=c$ において テイラー展開可能 であるという。 また 右辺を $f (x)$ の $x=c$ における テイラー展開 (Taylor expansion) という。 |elp| zsg| zwb| svb| lxm| lcu| mrz| pwi| pzc| bgb| xax| tyf| lzj| yzl| rck| ouu| pxg| rzw| ota| job| pcg| myn| dbt| jhf| qdo| uzd| mia| qij| zvr| lwv| wlq| zof| edf| pef| ukw| pch| iew| xib| ldc| udj| efh| pzu| pwv| fju| koz| wko| fqm| khp| rmk| nwk|