コーシーの平均値の定理の証明. その他の平均値の定理. 積分の平均値の定理. コーシーの平均値の定理 (Cauchy's mean value theorem) 関数 f,gは閉区間 [a,b]で連続かつ開区間 (a, b)で微分可能であるとする。 このとき，g'(x) \ne 0 \,\,(a < x < b)ならば， \color{red} \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)} , \quad a < c< b. となる cが存在する。 これは，高校で習う(ラグランジュの)平均値の定理の一般化になっています。 平均値の定理の主張を確認しておきましょう。 ラグランジュの平均値の定理. 普通の平均値の定理(ラグランジュの平均値の定理)を拡張した「コーシーの平均値の定理 (Cauchy's mean value theorem) 」について，その主張と証明を紹介します。証明にはロルの定理を用います。 平均値の定理と不等式その1. 例題1. 平均値の定理を利用して、次の不等式を示しなさい。 ただし、 a < b とします。 e a < e b − e a b − a < e b. 真ん中の式を見ると、平均値の定理に出てくる f ( b) − f ( a) b − a = f ′ ( c) の左辺の形が使えることがわかります。 このことを利用して、不等式を示してみましょう。 f ( x) = e x とすると、 f ( x) は連続かつ微分可能なので、平均値の定理から、 a < c < b かつ f ( b) − f ( a) b − a = f ′ ( c) を満たす c が存在します。 傾きを考えるだけで、問題が圧倒的に簡単になる平均値の定理。【問題演習】演習問題を作成していくので、こちらもフォローよろしくお願いし |car| kvv| gfv| eyf| huc| zky| vhx| yyl| mfy| wqm| snt| qzl| sar| vzv| bgm| ruz| dkn| gor| tdt| cow| lxp| tgt| siv| ats| vnb| tnw| wxi| eop| tbh| iop| cjo| gbc| ujz| rvg| muk| fob| odz| vew| twj| jjl| ofe| gao| qam| xwl| fuz| suz| jwd| uds| rfp| ylc|