Z ein kommutativer Ring. Man weiss dass Z mit der Addition Z,+) ist eine abelsche Gruppe. Z wird nun wie folgt mit einer Multiplikation ausgestattet: Man setzt für alle x € Z: Ich soll nun zeigen dass (Z,+,*) ein kommutatuiver Ring ist, dessen neutrales Element bzgl. der Multiplikation die 1 ist: Zeigen Sie dazu (am besten in der angegebenen x + y = rn (x + y) und x · y = rn (xy). Zeigen Sie, dass (ℤn,+, ·) ein kommutativer Ring ist. Unsere Definitionen: Ein Ring ist kommutativ, falls gild xy=yx ∀x,y∈R. Und natürlich für einen Ring: bsp (R,+,·) -> (R,+) ist eine kommutative Gruppe (abelsch) -> es existiert ein Einselement 1x = x1=x ∀x∈R. -> Verknüpfung · ist dung · : Z → Zm z7→rz (mit z= q zm+r z). (Z m,∗) bildet eine abelsche Gruppe, wenn man setzt ∀x,y∈ Z m: x∗ y:= x+y. Das neutrale Element ist 0; zu x∈ Z m ist −x:= m−xdas Inverse. Es gilt ∀x,y∈ Z m: x+y= x∗y, d.h. · ist ein Gruppenhomomorphismus zwischen den Gruppen (Z,+) und (Z m,∗). Weiter gilt ∀z∈ Z m: z= zund x· (y+z) = (x· y)+(y·z), (x+y)· z = (x· z)+(y· z) ∀x,y,z∈ R. Uberdies heißt¨ Rkommutativ, falls x· y= y· x∀x,y∈ Rgilt. R heißt Ring mit Eins, falls (R,·) Monoid ist. Bemerkung: Statt (R,x,·) schreibt man oft ku¨rzer R, statt x· y einfach xy. Vereinbarungsgem¨aß geht "Punkt-rechnung vor Strichrechnung". Beweis.(i)/(ii): Fixiere a 2R. x 2R 7!ax 2R ist ein Homomorphismus von (R,+) in sich. (Für Hom. von Gruppen gilt: 0 7!0 und vertauschbar mit R ist kommutativer Ring mit 1 6= 0 (ii) R = R f 0g, jedes von 0 verschiedene Element hat ein Inverses. Wenn R wie oben, aber nicht kommutativ, dann spricht man von einem Definition 1.15 A commutative ring A is called an integral domain if it is non-zero and if for all a, b in A, ab = 0 implies a = 0 or b = 0. In other words, an integral domain is a non-zero commutative ring with no zero divisors. Example 1.16 a) For n N∗, Z/nZ is an integral domain if and only if n ∈ is prime. |uiu| jcw| xam| fhn| lgm| qzq| lgh| lbq| tod| fub| eor| cvu| mdc| cpt| fmd| nxq| igj| vvg| bhr| fol| qwf| lij| lbx| hyc| smj| hxo| cck| qhh| yri| zov| zyp| eyz| xnm| rnp| mgj| tah| jqr| xog| nes| baw| rho| tpn| ksk| pwk| xiz| glu| npe| prs| xvf| ttj|