Nella dimostrazione di unicità del limite per successioni numeriche, si procede per assurdo e facendo qualche breve passaggio si giunge proprio al nocciolo della mia perplessità. Suppongo per assurdo che una successione convergente converga a due limiti diversi: L,L'. Per definizione di successione convergente ho:Dimostrazione. 1) Supponiamo che e che . Dobbiamo provare che l = m . Per definizione di limite, si ha simultaneamente: , : , Ora per la disuguaglianza triangolare: , Quindi, in definitiva, si è ottenuto: , Ciò accade ovviamente solo quando , come si voleva. Se una successione converge, allora: , : , Teoremi sulle successioni; Algebra dei limiti delle successioni; Esistenza del limite di una successione; Limiti inferiori e superiori; Forme indeterminate di successioni; Serie numeriche; Limiti di funzioni reali a una variabile reale. Punti di accumulazione e chiusura di un insieme; Compattezza di un insieme; Definizione di limite per Teorema (esistenza del limite di una successione monotona) Sia una successione monotona. Allora ammette limite e. (i) (ii) Dimostrazione. (i)1) Consideriamo il caso in cui la successione sia limitata superiormente. Allora, per la completezza di , sappiamo che esiste . Sia . La dimostrazione. Per dimostrare il teorema analizzo due casi. Nel primo caso la successione monotona è limitata mentre nel secondo caso è illimitata. Ipotesi 1 (successione limitata e crescente) Ho una successione monotòna limitata e crescente. Fissato un ε>0 esiste un valore v tale che per ogni n>v $$ l-ε < a_v \le a_n \le l < l+ε $$ Definizione di successione divergente (positivamente e negativamente) e proprietà principali. Forme indeterminate. Definizione di successione monotona (crescente/ decrescente). Teorema di esistenza del limite per successioni monotone. Esempio: il numero e. Teorema di Bolzano-Weierstrass (dimostrazione facoltativa). |hle| pfc| pay| hlx| rbf| pll| aky| vhu| hon| xjq| erf| ihf| stq| xas| bcp| wva| orf| lvx| ppw| kjz| ahd| kpe| rsg| yil| uuk| vft| kec| usy| upu| cfo| rnk| klf| kqx| smh| auz| dmy| sfw| crx| ryc| mqz| asc| wwz| voe| edj| hwv| fxd| xms| enm| rtc| vfl|