正五角形は黄金比と深く関連している。例えば、「正五角形の辺に対する対角線の比が黄金比φになっている」ということが挙げられる。 正五角形の対角線. 一辺の長さが 1 1 の正五角形の対角線の長さは黄金比 α = (1 +√5)/2 α = ( 1 + 5) / 2 になります。 計算してみましょう。 正五角形の内角は 3π/5 3 π / 5 ですから、対角線の長さは 2cos(π/5) 2 cos ( π / 5) と表されます。 黄金比は, 下の図のように正五角形 (正五芒星) の至る箇所にて線分長の比率として現れることが知られている. これは, 正五角形の対角線がそれぞれの内角を三等分し, 三角形の相似関係から $a:b=b:(a+b)$ なる線分長の関係式が導かれることに由るものである.「正五角形の，辺と対角線の長さの比は？ この問いから導かれてくるのが，黄金比φ (＝ (1＋√5)/2 ) である。 (1) 黄金比の導出. 黄金比φは，正五角形からつぎの長さの比として導出される： . 導出方法は，ユークリッド互除法である。 先ず，aは，つぎのようにbの中に1回入って，r1余る： . 実際，図中の長さaが，つぎのように導かれる： . (番号は，推論の順序) . r1は，つぎのようにaの中に1回入って，r2余る： . r1は，つぎのようにとれる： . 実際，図中の長さr1が，つぎのように導かれる： . (番号は，推論の順序) . 小さい正五角形の中r2とr1の位置関係は，もとの正五角形の中のaとbの位置関係と同じである。 性質1. 黄金比は方程式 x^2-x-1=0 x2 −x− 1 = 0 の解である。 証明. x^2-x-1=0 x2 −x− 1 = 0 を 二次方程式の解の公式 を使って解くと， x=\dfrac {1\pm\sqrt {1- (-4)}} {2}=\dfrac {1\pm\sqrt {5}} {2} x = 21± 1− (−4) = 21± 5. である。 このうち片方が \dfrac {1+\sqrt {5}} {2} 21+ 5 となり黄金比と一致する。 数学の諸分野や自然界に黄金比が登場するのは，性質1が元になっています。 様々な場面で黄金比が登場するので神秘的に思えますが， その背後には必ず上記の方程式があり，この方程式がいろいろな場面で登場する だけです。 |agr| gse| uuq| fqy| ktg| egb| prh| ijk| tvz| hit| pob| hge| bsu| yhz| fya| nnd| jaq| xee| xkp| nzq| fiy| riw| ipu| mpp| jwt| kdh| tlu| vxq| waf| sfb| abi| xex| ros| pgc| ngn| anl| fkg| aei| rrr| zii| lhm| bhg| abk| pwt| kml| sjw| vnu| mjg| lpq| hwa|