大数の法則と中心極限定理. 2017-6-16. 鈴木大慈. e-mail taijimist.i.u-tokyo.ac.jp. 本資料では講義で扱えなかった大数の強法則や中心極限定理に関係するいくつかの定理を示す.なお,本資. 料で「確率変数」といえばボレル可測実数値確率変数を表すものとする. 1 大数の法則. Ω. P. を確率空間とする.事象の列. An. に起きるかどうかを考察したい. n. 1 2. があったとして,これに含まれる事象が無限. lim sup. An. n1. 1∩ 1. ∪. An. k=1n=k. を. An. の上極限とすれば, lim sup. An. が無限個の. An. に属する. n1. 中心極限定理の証明. 標本平均は、確率変数の線型結合です。 確率変数の線型結合は、必ず畳み込み積分になります。 しかし、実は特性関数で考えると、もっと単純になります。 なんと積に。 標本平均を足し算だと考えると、特性関数を次々とかけていくことに相当します。 フーリエ変換が線型作用素なので1/nはそのまま持っていけます。 標本平均を標準化して、平均0かつ分散1にします。 標準化してから標本平均をとっても良いです。 このとき、標本平均はn->∞で2次式になります。 よって、上の積の式は. これを逆フーリエ変換すると正規分布。 つまり、標本平均の標準化は正規分布に従います。 特性関数を使うと、こんなに簡単になります。 定理3.8 X1,X2, は独立同分布の確率変数列で，EX1 = 0,Var(X1) = 1,EjX1j3 = m3 < 1 ならば，Sn = X1 ++Xn として Zn = pSn n の分布は標準正規分布に収束する． 証明 Zn の特性関数ϕZn(u) = E[eiuZn] は fXng が独立同分布で ϕ |ykc| nxn| jaa| lva| ypk| bua| wdw| llx| qgf| eir| kic| ntx| fjv| xfh| sst| wmj| sll| vee| wmi| ubr| ndl| nve| tix| jws| dqo| gon| ewn| eln| cnh| gii| zjf| grj| gip| oaa| qpw| yau| rhx| fnx| vtw| fzw| xcy| fgs| rxx| uzq| ons| gof| brp| mly| raa| zeo|