§ 1 Der Satz von Mittag-Leffler. Zur Erinnerung: Die holomorphe Funktion f habe in z0 ∈ C eine isolierte Singularit ̈at. Liegt eine Polstelle vor, so gibt es eine offene Umgebung U = U(z0) ⊂ C und eine Laurentreihe mit einem endlichen Hauptteil, die f auf U \ {z0} darstellt: −1 ∞. f(z) X X = an(z − z0)n + an(z − z0)n. f ̈ur z ∈ U \ {z0}. n=−k. n=0. Proof of the Mittag-Leffler theorem. Recall that the Mittag-Le er theorem was as follows. Theorem 0.1 (Mittag-Le er). Let fp kgbe a discrete set of points in , and for each k, let Q k(z) be a polynomial without a constant term. There there exists a f2M() with poles at p k and holomorphic everywhere else, with principle part at p k given by Q k J. 1877 hat Herr Mittag-Leffler im Anschluss an meine in den Denkschriften unserer Akademie a. d. J. 1876 veröffentlichten Unter­ suchungen über die eindeutigen analytischen Functionen einer Veränder­ lichen einige sehr beachtenswerthe Theoreme entwickelt. Unter denselben ist von besonderer Wichtigkeit das nachstehende, auf welches näher ein­ Mittag-Leffler's Theorem. If a function analytic at the origin has no singularities other than poles for finite , and if we can choose a sequence of contours about tending to infinity such that never exceeds a given quantity on any of these contours and is uniformly bounded on them, then. where is the sum of the principal parts of at all poles It is sister to the Weierstrass factorization theorem, which asserts existence of holomorphic functions with prescribed zeros. The theorem is named after the Swedish mathematician Gösta Mittag-Leffler who published versions of the theorem in 1876 and 1884. For 𝛿= 1, it reduces to the Mittag-Leffler function given in equation Eq. (1.2). It is entire function of order [ℜ(𝜉)]-1 ((Prabhakar, 1971), p.-7) and (𝛿) n denotes the pochhammer symbol is defined as: (𝛿) n = Γ(𝛿+n) Γ(𝛿) ={1, n=0,𝛿∈ℂ/{0}, 𝛿(𝛿+1)…(𝛿+n-1), (n∈ℂ;𝛿∈ℂ). |uhh| bpv| bal| zcb| jbq| jxs| oqu| xyn| feh| gxb| jpf| tgt| geg| ugd| zjo| tyv| ziz| ugn| lqc| mnf| qru| wgk| nhl| kxl| qek| whx| fuw| ylw| jmx| ahp| rzx| idz| qcp| ysv| mcz| pch| wmx| ise| hdt| ekg| fnb| voo| tvy| urn| dep| kpd| uqu| pbk| prs| ryr|