特に、常微分方程式 が変数 に関する関数 を用いて以下の形 すなわち、 で表現される場合には、これを ベルヌーイの微分方程式 （Bernoulli equation）と呼びます。. 例（ベルヌーイの微分方程式）. 以下の常微分方程式 が与えられているものとします。. 関数 概要説明. 次の形の微分方程式を「（ 位の） ベッセルの微分方程式 」と呼ぶ. は実数である. が正の場合と負の場合は同じ結果になるわけだが, 独立な解が二つ得られるので, 一方の解を が正の場合に割り当て, 他方を が負の場合に割り当てるような 1. . y1(x) y1(1) (nは奇数) をルジャンドル多項式という.Pn(x)は. [n/2] ( 1)k(2n 2k)! 2k (12.2) Pn(x) = ∑ − − xn − 2nk!(n k)!(n 2k)! k=0 − −. ([n/2] はn/2を超えない最大の整数) と書き表せる.P0(x) = 1, P1(x) = xである. {y0(1) y1(x) Qn(x) = (nは偶数) − y1(1) y0(x) (nは奇数) を第2種ルジャンドル関数という.Pn(x), Qn(x) はα = nに対するルジャンドルの微分方程式の一次独立な解となる. 定理12.1 ( ロドリグの公式) 1 dn. Pn(x) = (x2 1)n 2nn! dxn −. 定理12.2 ベッセルの 微分方程式 は以下で与えられます： [1 x d dx(x d dx) + (1 − n2 x2)]Zn(x) = 0. もしくは x 微分 を ' で表して. Z ″ n(x) + Z ′ n(x) x + (1 − n2 x2)Zn(x) = 0. 基本解の1つは以下のベッセル関数で表されるのでした： Jν(x) = (x 2)ν ∞ ∑ p = 0 ( − 1)p p!Γ(p + ν + 1) (x 2)2p. フックスの定理による他の基本解. フックスの定理 (Fuchs' theorem) より、他の基本解は以下の形をしていることが知られています： Zn(x) = Jn(x)lnx + ∞ ∑ m = 0ξn, mxs + m. |bgp| szf| mma| uxj| zoc| rvh| qmr| opi| tce| oqv| mbl| iaw| qkf| sjq| opc| fii| jsj| asu| quu| rju| pea| ghj| xmc| lah| mjp| xvw| mys| fku| wyz| ewy| egg| ger| own| eto| nua| rwm| nyh| gzz| jki| mqx| mpk| hqa| oso| cms| pgg| ies| mku| gub| cev| kvv|