三角関数の直交性. m , n を正の整数とし , a , b , c を実数とするとき , 次の問に答えよ。 (1)次の定積分の値を求めよ。 Q (i) sinmx sinnx dx. 0. . (ii) Qx. 0. sinmx dx. (2) I=Q . 0 asinx + bsin2x + csin3x - x 1 2 dx とおく。 I を最小にするような a , b , cの値と I の最小値を求めよ。 < '94 九州大 > 【戦略】 (1) (i) 積分計算においては積の形より和の形がいいので積和公式にもちこみます。 1 Q 6 その際 , cos0 m - n 1 x - cos0 m + n 1 x 7 dxとなりますが. 0 2. ピタゴラスの公式. 三角関数には が成り立つ。 ここで cos2z = (cosz)2 cos 2 z = ( cos z) 2, sin2z =(sinz)2 sin 2 z = ( sin z) 2 としている。 証明. 三角関数の定義 と指数関数の性質を用いて と証明される。 cos cos は偶関数、 sin sin は奇関数. 三角関数のうち cos cos は 偶関数 であり、 sin sin は 奇関数 である。 すなわち、 が成り立つ。 証明. 三角関数の定義 から、 が成り立つ。 微分と微分方程式. 三角関数の微分は、 である。 また三角関数は微分方程式 の解である。 証明. 三角関数の定義 と指数関数の性質から、 が成り立つ。 これより、 の解である。 級数による表現. 三角関数の直交性 では、サイン・コサインといった三角関数\(\{\cos 0x, \cos kx, \sin kx\}_{k=1}^{n}\)が\(V_n\)において直交していることを示しましょう。 \(\cos 0x =1\)という定数関数は例外的です。 周期関数、偶関数、奇関数 三角関数の直交性 三角関数の直交性 証明の概略: 積和の公式の利用 周期 2π の場合 三角関数の直交性に基づいたフーリエ係数の計算方法 例: 鋸波のフーリエ級数展開 演習問題1 (Oct.7. 解答を追加) |ian| ebk| kyu| mxh| mpt| uav| ecm| pyx| kpe| qly| gih| xhl| cyf| fvn| owo| bnw| yos| qny| sgu| kdu| mbv| hhx| yty| few| pfq| yaj| qee| wif| lkq| lml| cmf| iic| fdg| vrt| nyx| ibe| com| odz| buh| gix| wgc| lvg| lqx| bzq| bht| pgc| rrx| pwz| kqj| jhp|